锁相放大器是1930年代发明，并在20世纪中叶商业化的电子仪器。它主要基于互相关方法的微弱信号检测技术，其核心是相敏检测技术，利用与待测信号具有相同频率和固定相位关系的参考信号为基准，滤除与参考频率不同的噪声，从而测量出待测信号的幅度和相位，如图1所示。

图 1

MFLI/HF2LI都具有120dB的动态储备，这意味着在噪声比待测信号的幅度高出一百万倍的情况下也能准确地测量出所需的信号(MFLI最小可测信号为10fA/1nV，HF2LI最小可测信号为1nV)。不光如此，它们还可以被用作锁相环中的精密交流电压和交流相位计，噪声测量单元，阻抗谱仪，网络分析仪，频谱分析仪和鉴相器。这篇文档简要介绍了锁定放大的原理，以及一些重要的测量设置。

图 2

如图2b所示，把含有噪声的输入信号记做V_s(t)，将其分为两路与参考信号相乘，其中一路是和相移90度后的参考信号相乘。如图2a所示，这里参考信号可以由锁相放大器本身产生，也可以由外部信号源提供给锁相放大器和实验，比如可以将信号发生器提供的TTL信号、电光调制器EOM、声光调制器AOM以及斩波器等的信号连接到锁相放大器的参考信号输入端口。通常情况下，参考信号都是正弦波，但也可以具有其他波形。只不过用纯正弦波解调可以在基频或其任何谐波上进行选择性测量。而一些使用方波的仪器，如果其方波还捕获信号的所有奇次谐波的话，有可能引入系统的测量误差。回到图2b，这两路信号分别通过低通滤波器之后，我们可以得到正交坐标系下X和Y的值。将其转换为极坐标，就可以得到幅度R和相位Θ。

接下来我们在时域上进行数学分析：对于一个输入信号V_s，将其等分为两路后，每一路可表示为

其中R是输入信号的幅值，ω是信号的角频率，Θ是信号的相位。对于参考信号V_t(t)，可以表示为

通过乘法器后的信号可以表示为

通过之后的低通滤波器，高频分量(ω_s+ω_r)被滤掉，只剩下

当参考信号频率ω_r等于输入的待测信号频率ω_s时，最终输出信号变成

当V_s(t)和V_r(t)的相位差Θ=0时，得到最大值，即待测信号的幅值。

图 3

图3a将峰值为0.5V的输入信号V_s(红色)与同频参考信号V_r(蓝色)相乘。b中显示所得信号频率是V_s和V_r的两倍。经过低通滤波器后的最终直流分量为0.17V，该值与相位差有关。而c是将输入信号V_s与不同频率的参考信号V_r相乘。d中所得信号的频率分量为f_s-f_r和f_s+f_r，输出信号始终为零。可以直观地看出，锁相放大器把同频率的信号提取出来，把不同频率(噪声)滤除掉了。

接下来我们从频域上分析：首先用傅立叶变换将时域中频率为f₀的正弦函数转换为频域中的狄拉克δ函数δ(f-f₀)，即频谱中频率为f₀的单个峰值。图4a在时域中一个包含噪声的正弦波，然后在b中将它进行傅立叶变换到频域，可以看到在+f_r和-f_r处有两个峰值。图中零频率处的较小峰值是由输入信号的直流偏移引起的。c中蓝色轨迹代表与同频的参考信号相乘后的时域信号，红色轨迹是经过低通滤波器后的最终信号。d可以看到相乘后的频谱向着较低的频率偏移了参考频率f_r，两个峰值分别位于-2f_r和0处。高Q值的低通滤波器可以很容易的滤出直流分量。

图 4

从图4d中可以看出，需要一个带宽明显小于信号频率fs的滤波器，才能有效地抑制输入信号中的失调。接下来，我们将讨论在不同的实验情况下如何选择合适的滤波器特性。首先，对于一个滤波器，在频域上，过滤后的输出信号Q_out和输入信号Q_in有如下关系：

H(ω)称为滤波器的传递函数。Q_in(ω)和Q_out(ω)分别是时域输入信号Q_in(t)和输出信号Q_out(t)的傅立叶变换。理想中的滤波器只能让频率在通带内的信号通过，对于通带之外其他频率(阻带)的信号能够完全衰减掉。但是实际中的滤波器并不能够将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。这通常称为滤波器的滚降现象，并且使用每十倍频的衰减幅度dB来表示存在。如图5所示的RC滤波器模型，其传递函数为

其中τ=RC称为具有电阻R和电容C的滤波时间常数。这样的一阶滤波器的滚降性能较差，为了增加滚降陡度，通常是级联几个这样的滤波器。对于每个添加的滤波器，滤波器的阶数都会增加1。由于一个滤波器的输出成为下一个滤波器的输入，因此可以简单地将其传递函数相乘，得到n阶滤波器的传递函数：

图 5

图 6

图6a显示了一阶RC滤波器的传递函数H(ω)以及具有相同时间常数τ的高阶滤波器(n=2、4、8)的传输函数。可以看出，阶数越高，f_-3dB频带越窄。但是从c显示的时域中阶跃响应曲线来看，阶数越高会导致达到相同的精度水平所需的时间显著增加。另外从b中可以看出阶数越高其相位延迟越大，在一些反馈应用中可能是极其不利的。

图 7

图7是与图6相同的一组曲线图，但是这次所有滤波器的截止点f_-3dB相同，时间常数则有所不同，分别为τ=0.16、0.10、0.069、0.048。从a中可以看出高阶滤波器有更陡峭的滚降。c显示阶跃响应作为时间的函数，以一阶滤波器的时间常数τ1为单位。可以看出低阶滤波器在开始时对输入信号的变化反应更快，但这种优势会随着时间的流逝而降低，在一段时间后，高阶滤波器对输入信号的变化反应会超过低阶滤波器。

表 1相同时间常数下不同阶数滤波器

等效噪声功率带宽f_NEP是理想滤波器的截止频率，对于噪声测量，根据噪声等效功率带宽f_NEP来指定滤波器比f_-3dB通常更有用。表1中列出了f_NEP和f_-3dB之间的转换因子。

在将输入信号V_s(t)与参考信号V_r(t)混合后，信号频谱变为V_s(ω-ω_r)。低通滤波通过与滤波器传递函数H_n(ω)相乘进一步变换频谱。解调后的信号Z(t)包含参考频率附近的所有频率分量，并由滤波器响应加权

该方程式清楚地表明，解调的行为类似于带通滤波器，因为它提取以f_r为中心并在两侧扩展f_-3dB的频谱。因此可以通过将解调信号的傅立叶变换除以滤波器的传递函数，来恢复输入信号在解调频率fr附近的频谱，实现与频谱分析仪一样的功能。

可以通过其阶跃响应得出滤波器的时域特性，如图6(c)和图7(c)所示，在滤波器输出稳定之前，需要一定的时间。表1列出了不同阶数但时间常数τ相同的滤波器达到精确值的63.2％，90％，99％和99.9％的时间。

图 8

接下来，关于信号动态范围(Signal dynamics)和解调带宽(demodulation bandwidth)，首先考虑输入一个如图8所示的AM信号

幅值R(t)=1+hcos(ω_mt)，如图中蓝色曲线所示。载波频率f_c=ω_c/2π，调制指数h代表调制强度。在这个例子中，我们选择f_c=2kHz的载波频率和f_m=100Hz的调制频率。

图 9

图9a显示了相乘后的AM信号。它的幅值随时间变化，但其角度φ_c是恒定的。图9b和c分别显示了正交分量和同相分量。蓝色曲线是未滤波的信号，黑色、红色和青色虚线分别为f_-3dB=500Hz、100Hz和20Hz的解调信号。cos(ω_mt)是两个矢量exp(iω_mt)和exp(-iω_mt)的和，这两个矢量代表AM信号频谱的上边带和下边带，如图9d所示。黑色，红色和青色虚线分别是经过三个不同带宽滤波器解调的信号频谱。

对于大多数实验，需要测量以下量之一：

1、幅度R(t)=1+hcos(ω_mt)的时间变化

2、振幅的平均值⟨R(t)⟩

3、调制指数h

在第一种情况下，我们希望解调后的信号以频率f_m跟随幅度变化。这要求滤波器带宽要大于f_m。比如选择一个具有f_-3dB=500Hz带宽的四阶滤波器，其f_m=100Hz的传递函数约为98.5％，相位延迟约为20^o。解调后的信号在图9b和c中显示为黑色虚线。

图 10

除了所需的边带抑制和相位延迟之外，测量中的噪声大小也是选择滤波器时要考虑的重要因素。如图10a蓝色曲线所示，滤波器的选择不对导致解调后的信号仍然包含噪声，黑色虚线为无噪声信号。b显示了用截止频率等于调制频率的滤波器解调同一个信号后的结果。注意，虽然该滤波器消除了大部分噪声，但它引入了幅度和相位的系统变化，需要对其进行校正才能获得最终准确的结果。

对于第二个要求，我们通过将滤波器带宽减小到小于f_m的值来滤掉与边带频率分量。，比如f_−3dB=20Hz的四阶滤波器，如图9d中的青色虚线所示。图10c是用该窄滤波器的测量结果。

在第三种情况下，我们想知道调制指数h，但不需要解析完整的信号过程。例如，在开尔文探针力显微镜中，h是响应于频率为f_m的交流电压探针和样品之间的静电力的量度。由于调制指数与边带的幅度成正比，因此可以通过在f_c-f_m和f_c+f_m的边带频率处用窄滤波器来测量。有两种方法可以做到这一点：串联解调或者直接边带解调。在串联解调中，我们首先在中心频率附近进行宽带解调，得到与图11a相似的结果。然后再次以f_m进行解调。在直接边带解调中，信号以f_c±f_m一次被解调，调制频率仅受锁相放大器自身的频率范围限制。而且直接边带解调还有一个优势就是只需要一个锁相放大器。

参考文章：

zi_whitepaper_principles_of_lock-in_detection

Two dimensional magneto transport in the extreme quantum limit